Hola , bienvenidos a su nuevo curso. Este es el primer tema del año .Los conceptos que aquí se explican, servirán para entender un contenido muy importante y de gran utilidad en muchos campos de la ciencias......De nuevo ..¡¡Bienvenido¡¡
¿Comenzamos?
Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo, data del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 a.C.) es el llamado: problema de las tangentes y que se describe a continuación. Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (fig. 9.5.).
Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P. La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante. Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P.
Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente: , ,entonces, la pendiente de la recta secante , denotada por viene dada por:
En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya pendiente viene dada por: De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en es: (Punto – Pendiente)
"Bien esto es mas o menos lo que es la interpretación geometrica de la derivada. Les propongo ahora ver el video adjunto para entender un poco más:"
OK. ESTO ES TODO POR ESTA CLASE, LES PROPONGO AHORA UN "RECREO VIRTUAL"......... ¡¡DISFRUTENLO¡¡
"Veamos como podemos aplicar el concepto de derivadas en funciones derivables"
CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.
Una función es derivable en un conjunto si es derivable en todos los puntos de dicho conjunto.
Si una función (f,D) es derivable en un subconjunto D´ de su dominio D, es posible definir una nueva función que asocia a cada número real de D´ la derivada de f en ese punto:
La función así definida se llama función derivada o, simplemente, derivada de f. Se nota por f´ o también por Df(x).
De la misma forma, a partir de la derivada primera se puede definir, si existe, su derivada, y que recibe el nombre de derivada segunda:
Y así sucesivamente las demás.
¡¡Veamos ejemplos de derivadas de funciones¡¡
DERIVADAS Y CONTINUIDAD.
DEFINICIONES
Una función es derivable en un intervalo abierto (a , b) si lo es en cada uno de sus puntos.
Una función es derivable en un intervalo cerrado [a , b] si lo es en el abierto (a , b) y es derivable por la derecha en a y por la izquierda en b.
TEOREMA DE CONTINUIDAD
Si una función es continua en un punto entonces es derivable. Demostración:
Vamos a demostrar esto último:
El recíproco del teorema no siempre es cierto. Existen funciones continuas en un punto que no son derivables en el mismo.
EJEMPLO 2
Consideremos la función:
Es , luego f es continua en x = 0. Sin embargo:
es decir, las derivadas laterales no coinciden, y la función no es derivable en x = 0.
DERIVADAS Y OPERACIONES.
Sean en adelante f y g dos funciones derivables y c CR. Entonces:
1) DERIVADA DE LA SUMA f + g es derivable y (f + g)´ = f´ + g´
2) DERIVADA DEL PRODUCTO POR ESCALARES c·f es derivable y (c·f)´ = c·f´
Estas dos propiedades son muy importantes, ya que demuestran la LINEALIDAD de la derivación:
«Un operador se dice que es LINEAL si respeta las operaciones suma y producto por escalares.»
8) DERIVADA DE LA INVERSA PARA LA COMPOSICIÓN
Sea f derivable en a, y sea f -1 la inversa de f para la composición. Entonces f -1 es derivable en f(a), y:
¡Veamos algunas operaciones con derivadas¡¡
TABLA DE DERIVADAS
Función constante Si f(x) = c CR es f´(x) = 0
Función identidad Si f(x) = x es f´(x) = 1
Función logarítmica Si f(x) = ln(x) es f´(x) = 1/x
NOTA
Esta derivada es muy importante, ya que, junto con la regla de la cadena, nos va a simplificar el cálculo de la mayoría de las derivadas.
Derivada de una potencia Si f(x) = x a, con a CR, es f´(x) = a · x a-1
Función exponencial Si f(x) = e x es f´(x) = e x
Función exponencial de base a > 0 Si f(x) = a x es f´(x) = a x · ln(a)
Función logarítmica de base a > 0 Si f(x) = loga(x) es f´(x) = 1/x · 1/ln(a) = loga(e) · 1/x
Función seno Si f(x) = sen(x) es f´(x) = cos(x)
Función coseno Si f(x) = cos(x) es f´(x) = - sen(x)
Función tangente Si f(x) = tg(x) es f´(x) = 1 + [tg(x)] 2 = 1/[cos(x)] 2
Función cotangente Si f(x) = ctg(x) es f´(x) = -1 - [ctg(x)] 2 = -1/[sen(x)] 2
F. primitiva de una función f (x), es otra función f (x) cuya derivada es la primera: F'(x)= f (x). Si f (x) es función primitiva de f (x) también lo son todas las funciones del tipo:
F (x) + C
Se cumple que si a al expresión F (x) + C, le aplicamos el proceso de derivación:
[F(x) + C]' F'(x) + C' = F'(x) + 0 = F'(x)
Se explica a continuación:
En la expresión [F(x) + C] están contenidas todas las funciones primitivas de f(x) donde C = cte de integración.
F(x) + C f(x)
[F(x) + C]' = f(x) f(x) = 4 x^3 =>
Por lo tanto: una función tiene infinitas funciones primitivas
Integral indefinida, o simplemente integral.
Definición: El conjunto de todas las funciones F(x) + C que son primitivas de f(x) se denomina integral indefinida (o simplemente integral) de f(x) y se representa:
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
3º Se vuelve a la variable inical:
Ejemplo
EJEMPLOS EN VIDEOS:
INTEGRACION POR PARTES
El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
Ejemplos
Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.
Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.
, 
,entonces, la pendiente de la recta secante 
, denotada por 
viene dada por: 
viene dada por: 
(Punto – Pendiente) 
, luego f es continua en x = 0. Sin embargo:
f(x)
