COLEGIO SAN GABRIEL (5to Año): INTEGRALES DEFINIDAS

INTEGRALES DEFINIDAS

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.

Se representa por :

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integrales definidas

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Regla de Barrow
Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una función definida en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para cualquier x ð (a, b), entonces:

Veamos algunos ejemplos:

CALCULO DE AREAS CON INTEGRALES DEFINIDAS

AREA BAJO UNA CURVA

Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a,b ], el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b viene dada por:

Observemos la siguiente fig 1:

FIG 1.

En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.

Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.

EJEMPLO 1: Hallar el área de la región acotada por la curva y las rectas f(x)=4 y x=−3 y x=2.

SOLUCIÓN:

1. TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajo se muestra la región establecida.

FIG 2.

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:

3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.

Luego el área de la región es 20 u².

AREA ENTRE CURVAS

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.