COLEGIO SAN GABRIEL (5to Año): DEFINICION DE DERIVADAS

"Veamos como podemos aplicar el concepto de derivadas en funciones derivables"

CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.

Una función es derivable en un conjunto si es derivable en todos los puntos de dicho conjunto.

Si una función (f,D) es derivable en un subconjunto D´ de su dominio D, es posible definir una nueva función que asocia a cada número real de D´ la derivada de f en ese punto:

La función así definida se llama función derivada o, simplemente, derivada de f. Se nota por f´ o también por Df(x).

De la misma forma, a partir de la derivada primera se puede definir, si existe, su derivada, y que recibe el nombre de derivada segunda:

Y así sucesivamente las demás.

¡¡Veamos ejemplos de derivadas de funciones¡¡

DERIVADAS Y CONTINUIDAD.

DEFINICIONES

Una función es derivable en un intervalo abierto (a , b) si lo es en cada uno de sus puntos.

Una función es derivable en un intervalo cerrado [a , b] si lo es en el abierto (a , b) y es derivable por la derecha en a y por la izquierda en b.

TEOREMA DE CONTINUIDAD
Si una función es continua en un punto entonces es derivable.

Demostración:

Vamos a demostrar esto último:

El recíproco del teorema no siempre es cierto. Existen funciones continuas en un punto que no son derivables en el mismo.

EJEMPLO 2

Consideremos la función:

, luego f es continua en x = 0. Sin embargo:

es decir, las derivadas laterales no coinciden, y la función no es derivable en x = 0.

DERIVADAS Y OPERACIONES.

Sean en adelante f y g dos funciones derivables y c C R. Entonces:

1) DERIVADA DE LA SUMA
f + g es derivable y (f + g)´ = f´ + g´

2) DERIVADA DEL PRODUCTO POR ESCALARES
c·f es derivable y (c·f)´ = c·f´

Estas dos propiedades son muy importantes, ya que demuestran la LINEALIDAD de la derivación:

«Un operador se dice que es LINEAL si respeta las operaciones suma y producto por escalares.»

3) DERIVADA DE LA DIFERENCIA
f - g es derivable y (f - g)´ = f´ - g´

4) DERIVADA DEL PRODUCTO
f · g es derivable y (f · g)´ = f´ · g + f · g´

5) DERIVADA DE LA INVERSA PARA EL PRODUCTO
Si f es distinta de cero, 1/f es derivable y (1/f)´ = -f´/f²

6) DERIVADA DEL COCIENTE
Si f es distinta de cero, f/g es derivable y (f/ g)´ = [f´ · g - f · g´]/g²

7) DERIVADA DE LA COMPOSICIÓN. REGLA DE LA CADENA
Si f es derivable en a y g es derivable en f(a), entonces f o g es derivable en a, y (f o g)´(a) = g´[f(a)] · f´(x)

8) DERIVADA DE LA INVERSA PARA LA COMPOSICIÓN
Sea f derivable en a, y sea f ^-1 la inversa de f para la composición. Entonces f ^-1 es derivable en f(a), y:

¡Veamos algunas operaciones con derivadas¡¡

TABLA DE DERIVADAS

Función constante
Si f(x) = c C R es f´(x) = 0
Función identidad
Si f(x) = x es f´(x) = 1
Función logarítmica
Si f(x) = ln(x) es f´(x) = 1/x

NOTA
Esta derivada es muy importante, ya que, junto con la regla de la cadena, nos va a simplificar el cálculo de la mayoría de las derivadas.
Derivada de una potencia
Si f(x) = x ^a, con a C R, es f´(x) = a · x ^a-1
Función exponencial
Si f(x) = e ^x es f´(x) = e ^x
Función exponencial de base a > 0
Si f(x) = a ^x es f´(x) = a ^x · ln(a)
Función logarítmica de base a > 0
Si f(x) = log_a(x) es f´(x) = 1/x · 1/ln(a) = log_a(e) · 1/x
Función seno
Si f(x) = sen(x) es f´(x) = cos(x)
Función coseno
Si f(x) = cos(x) es f´(x) = - sen(x)
Función tangente
Si f(x) = tg(x) es f´(x) = 1 + [tg(x)] ² = 1/[cos(x)]²
Función cotangente
Si f(x) = ctg(x) es f´(x) = -1 - [ctg(x)] ² = -1/[sen(x)]²
Función arcoseno
Si f(x) = arcsen(x) es
Función arcocoseno
Si f(x) = arccos(x) es
Función arcotangente
Si f(x) = arctg(x) es
Función arcocotangente
Si f(x) = arcctg(x) es